Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：

x= 2 cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），過點(diǎn)P（2，1）的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．若|PA|•|PB|=

8

3

，求|AB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：首先把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步把經(jīng)過點(diǎn)P的直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化出來．利用直線和曲線的位置關(guān)系利用兩根和兩根積求出結(jié)果．

解答： 解：首先把曲線C轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：

x2

2

+y2=1①
過點(diǎn)P（2，1）的直線的參數(shù)方程為：

x=2+tcosθ y=1+tsinθ

(θ為參數(shù))②，
所以：點(diǎn)P在橢圓外，
把②代入①得到的方程整理為為：（2sin²θ+cos²θ）t²+4（cosθ+sinθ）t+4=0，
設(shè)t₁和t₂是點(diǎn)P到A和B的有向線段，
所以根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系：|PA||PB|=t₁t₂=

4

2sin2θ+cos2θ

=

4

1+sin2θ

，
由于|PA|•|PB|=

8

3

，
所以：

4

1+sin2θ

=

8

3

，
解得：sinθ=±

2

2

，
cosθ=±

2

2

，
所以：|AB|=|PA|-|PB|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

32 3 - 4 2 3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，有向線段的應(yīng)用問題，根和系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型．