Question

如圖，橢圓C方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），點A₁，A₂為橢圓C的左、右頂點．
（1）若橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3，最小值為1，求橢圓的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+m與（1）中所述橢圓C相交于A、B兩點（A、B不是左、右頂點），且滿足AA₂⊥BA₂，求證：直線l過定點，并求出該點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由題意知 

a-c=1 a+c=3

，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由AA₂⊥BA₂，知（2-x₁）（2-x₂）+y₁y₂=0．聯(lián)立方程

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，利用韋達定理和根的判別式能推導出7m²+16km+4k²=0，由此能夠證明直線l恒過定點(

2

7

，0)．

解答：解：（1）由題意知 

a-c=1 a+c=3

，
a=2，c=1，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AA₂⊥BA₂，∴（2-x₁）（2-x₂）+y₁y₂=0…．①
聯(lián)立方程

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，

x1+x2=- 8km 3+4k2 x1x2= 4m2-12 3+4k2 △=48(4k2-m2+3)

，代入①式整理，得7m²+16km+4k²=0，
所以（7m+2k）（m+2k）=0
當7m=-2k時，滿足△＞0．此時，直線l：y=-

7

2

mx+m恒過點(

2

7

，0)
當m=-2k時，滿足△＞0．此時，直線l：y=-

1

2

mx+m恒過點（2，0）不符合題意，舍．
所以，直線l恒過定點(

2

7

，0)．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過定點的證明，解題時要認真審題，注意韋達定理、根的判別式、分類討論思想的合理運用．