Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個焦點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)（2，0）在橢圓C上，AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M．
（I）求橢圓C的方程；
（II）求動點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)a=2，c=1，從而b²=a²-c²=3，即可得橢圓C的方程．
（Ⅱ）由題意得F（1，0），N（4，0）．設(shè)A（m，n），則B（m，-n）（n≠0），

m2

4

+

n2

3

=1，由題意知AF與BN的方程分別為：n（x-1）-（m-1）y=0，n（x-4）-（m-4）y=0．由此入手能夠推出動點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：
（Ⅰ）由題設(shè)a=2，c=1，從而b²=a²-c²=3，
所以橢圓C前方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由題意得F（1，0），N（4，0）．
設(shè)A（m，n），則B（m，-n）（n≠0），

m2

4

+

n2

3

=1．①
AF與BN的方程分別為：n（x-1）-（m-1）y=0，
n（x-4）-（m-4）y=0．
設(shè)M（x₀，y₀），則有n（x₀-1）-（m-1）y₀=0，②
n（x₀-4）+（m-4）y₀=0，③
由②，③得
x₀=

5m-8

2m-5

，y0=

3n

2m-5

由于

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=

(5m-8)2

4(2m-5)2

+

3n2

(2m-5)2

=

(5m-8)2

4(2m-5)2

+

3n2

(2m-5)2

=

(5m-8)2+12n2

4(2m-5)2

=

(5m-8)2+36-9m2

4(2m-5)2

=1
所以動點(diǎn)M的軌跡方程為：

x2

4

+

y2

3

=1(y≠0)．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的軌跡問題等基本知識，解答的關(guān)鍵是直線交軌法的應(yīng)用．屬于中檔題．