Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點為A，在x軸負(fù)半軸上有一點B，滿足AB⊥AF₂．且F₁為BF₂的中點．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）D是過A，B，F(xiàn)₂三點的圓上的點，D到直線l：x-

3

y-3=0的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意求出F₂（c，0），A（0，b），設(shè)B（x₀，0），根據(jù)向量

AF2

⊥

AB

利用數(shù)量積建立關(guān)系式，算出x₀=-

b 2

c

，再由F₁為BF₂中點化簡得a²=4c²，從而求出橢圓C的離心率；
（2）由（1）的結(jié)論得到F₂、B的坐標(biāo)，從而得到△ABF₂的外接圓圓心為F₁（-

1

2

a，0），半徑r=a．利用點到直線的距離公式，結(jié)合題意建立關(guān)于a的方程，解之得a=2，進(jìn)而得到c=1且b=

3

，可得橢圓C的方程．

解答：解：（1）設(shè)B（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b），
得

AF2

=（c，-b），

AB

=（x₀，-b）
∵

AF2

⊥

AB

，∴cx₀+b²=0，解之得x₀=-

b 2

c

，
∵F₁為BF₂中點，∴-

b 2

c

+c=-2c，化簡得b²=3c²=a²-c²，即a²=4c²，
故a=2c，可得橢圓C的離心率e=

c

a

=

1

2

；
（2）由（1）知c=

1

2

a，于是F₂（

1

2

a，0），B（-

3

2

a，0），
△ABF₂的外接圓圓心為F₁（-

1

2

a，0），半徑r=a，
∵D到直線l：x-

3

y-3=0的最大距離等于2a，∴圓心到直線的距離為a，
可得

|- 1 2 a-3|

2

=a，解之得a=2，得到c=1且b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的離心率和方程．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．