（2013•江西）如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)P （1，
3
2
），離心率e=
1
2
，直線l的方程為x=4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．問：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．
分析：（1）由題意將點(diǎn)P （1，
3
2
）代入橢圓的方程，得到
1
a2
+
3
4b2
=1(a＞b＞0)，再由離心率為e=
1
2
，將a，b用c表示出來代入方程，解得c，從而解得a，b，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）方法一：可先設(shè)出直線AB的方程為y=k（x-1），代入橢圓的方程并整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=
8k2
4k2+3
，x1x2=
4k2-12
4k2+3
，再求點(diǎn)M的坐標(biāo)，分別表示出k1，k2，k3．比較k1+k2=λk3即可求得參數(shù)的值；
方法二：設(shè)B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直線FB的方程為y=
y0
x0-1
(x-1)，由此方程求得M的坐標(biāo)，再與橢圓方程聯(lián)立，求得A的坐標(biāo)，由此表示出k1，k2，k3．比較k1+k2=λk3即可求得參數(shù)的值
解答：解：（1）橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)P （1，
3
2
），可得
1
a2
+
9
4b2
=1(a＞b＞0)  ①
由離心率e=
1
2
得
c
a
=
1
2
，即a=2c，則b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=
3

故橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
（2）方法一：由題意可設(shè)AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-1）③
代入橢圓方程
x2
4
+
y2
3
=1并整理得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
x1+x2=
8k2
4k2+3
，x1x2=
4k2-12
4k2+3
    ④
在方程③中，令x=4得，M的坐標(biāo)為（4，3k），
從而k1=
y1-
3
2
x1-1
，k2=
y2-
3
2
x2-1
，k3=
3k-
3
2
4-1
=k-
1
2

注意到A，F(xiàn)，B共線，則有k=kAF=kBF，即有
y1
x1-1
=
y2
x2-1
=k
所以k1+k2=
y1-
3
2
x1-1
+
y2-
3
2
x2-1
=
y1
x1-1
+
y2
x2-1
-
3
2
（
1
x1-1
+
1
x2-1
）
=2k-
3
2
×
x1+x2-2
x1x2-(x1+x2)+1
    ⑤
④代入⑤得k1+k2=2k-
3
2
×
8k2
4k2+3
-2
4k2-12
4k2+3
-
8k2
4k2+3
+1
=2k-1
又k3=k-
1
2
，所以k1+k2=2k3
故存在常數(shù)λ=2符合題意
方法二：設(shè)B（x0，y0）（x0≠1），則直線FB的方程為y=
y0
x0-1
(x-1)
令x=4，求得M（4，
3y0
x0-1
）
從而直線PM的斜率為k3=
2y0-x0+1
2(x0-1)
，
聯(lián)立
x2
4
+
y2
3
=1
y=
y0
x0-1
(x-1)
，得A（
5x0-8
2x0-5
，
3x0
2x0-5
），
則直線PA的斜率k1=
2y0-2x0+5
2(x0-1)
，直線PB的斜率為k2=
2y0-3
2(x0-1)

所以k1+k2=
2y0-2x0+5
2(x0-1)
+
2y0-3
2(x0-1)
=2×
2y0-x0+1
2(x0-1)
=2k3，
故存在常數(shù)λ=2符合題意
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了分析轉(zhuǎn)化的能力與探究的能力，考查了方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，本題綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量大，極易出錯(cuò)，解答時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)運(yùn)算，嚴(yán)密推理，方能碸解答出．
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（2013•江西）如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=
2
，AA1=3，E為CD上一點(diǎn)，DE=1，EC=3
（1）證明：BE⊥平面BB1C1C；
（2）求點(diǎn)B1到平面EA1C1 的距離．

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（2013•江西）如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)�數(shù)為
4
4
．

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（2013•江西）如圖，半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1，l2之間，l∥l1，l與半圓相交于F，G兩點(diǎn)，與三角形ABC兩邊相交于E，D兩點(diǎn)．設(shè)弧
FG
的長為x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l從l1平行移動到l2，則函數(shù)y=f（x）的圖象大致是（　�。�

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（2013•江西）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=
32
，連接CE并延長交AD于F
（1）求證：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．

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