精英家教網(wǎng)如圖,橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點,M是橢圓短軸的一個端點,過F1的直線l與橢圓交于A,B兩點,△MF1F2的面積為4,△ABF2的周長為8
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(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點Q的坐標為(1,0),是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓,使得該圓與直線PF1,PF2都相切,如存在,求出P點坐標及圓的方程,如不存在,請說明理由.
分析:(I)根據(jù)三角形的面積公式及橢圓的定義列出關(guān)于橢圓的三個參數(shù)a,b,c的關(guān)系,再加上a,b,c本身的關(guān)系,通過解方程求出a,b,c,寫出橢圓的方程.
(II)假設(shè)存在滿足條件的點p,設(shè)出其坐標,根據(jù)兩點式寫出直線PF1,PF2的方程,根據(jù)圓的切線滿足圓心到直線的距離等于半徑,利用點到直線的距離公式列出有關(guān)點p的坐標的方程,再利用點p的坐標滿足橢圓的方程,解方程組求得點p的坐標.
解答:解:(Ⅰ) 由題意知:
1
2
×2c×b=4即bc=4

4a=8
2
即a=2
2
,
∵a2=b2+c2
解得 b=c=2
∴橢圓的方程為
x2
8
+
y2
4
=1

(Ⅱ)假設(shè)存在橢圓上的一點P(x0,y0),使得直線PF1,PF2與以Q為圓心的圓相切,
則Q到直線PF1,PF2的距離相等,
∵F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)
∴PF2:(x0-2)y-y0x+2y0=0; PF1:(x0+2)y-y0x-2y0=0
d1=
|y0|
(x0-2)2+y02
=
|3y0|
(x0+2)2+y02
=d2

化簡整理得:8x02-40x0+32+8y02=0
∵點在橢圓上,
∴x02+2y02=8
解得:x0=2或 x0=8(舍)   
x0=2時,y0
2
,r=1,
∴橢圓上存在點P,其坐標為(2,
2
)
(2,-
2
)

使得直線PF1,PF2與以Q為圓心的圓(x-1)2+y2=1相切
點評:求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法,要注意橢圓的三個參數(shù)的關(guān)系為:a2=b2+c2;解決是否存在性問題,一般先假設(shè)存在,然后利用已知條件求,若求出即存在,求不出,說明不存在.
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已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點P(1,
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)在橢圓C上.
(I)求橢圓C的方程;
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2
2

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(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點Q的坐標為(1,0),是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓,使得該圓與直線PF1,PF2都相切,如存在,求出P點坐標及圓的方程,如不存在,請說明理由.

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