【題目】已知數(shù)列,若對任意的,,,存在正數(shù)使得,則稱數(shù)列具有守恒性質(zhì),其中最小的稱為數(shù)列的守恒數(shù),記為.

1)若數(shù)列是等差數(shù)列且公差為,前項和記為.

①證明:數(shù)列具有守恒性質(zhì),并求出其守恒數(shù).

②數(shù)列是否具有守恒性質(zhì)?并說明理由.

2)若首項為1且公比不為1的正項等比數(shù)列具有守恒性質(zhì),且,求公比值的集合.

【答案】1)①見解析,.②數(shù)列不具有守恒性質(zhì).見解析(2

【解析】

1)①運用等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列具有守恒性質(zhì)可得結(jié)論;

②數(shù)列不具有守恒性質(zhì),運用等差數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)可得結(jié)論;

2)討論,,由等比數(shù)列的通項公式和不等式的性質(zhì),構(gòu)造數(shù)列,運用單調(diào)性,即可得到所求范圍.

解:(1)①因為是等差數(shù)列且公差為,所以

所以對任意,

恒成立,

所以數(shù)列具有守恒性質(zhì),且守恒數(shù).

②假設(shè)數(shù)列具有守恒性質(zhì),因為,所以存在實數(shù)

.

,則當(dāng)時,,矛盾;

,則當(dāng)時,,矛盾.

所以數(shù)列不具有守恒性質(zhì).

2)顯然,因為,所以.

因為數(shù)列具有守恒性質(zhì),

所以對任意,,存在正數(shù)使得

即存在正數(shù),對任,都成立.

i)若,等比數(shù)列遞增,不妨設(shè),則,

,

設(shè),由式中的,任意性可知,數(shù)列不遞增,

所以對任意恒成立.

而當(dāng),

所以不符題意.

ii)若,則數(shù)列單調(diào)遞減,不妨設(shè),則,

,

設(shè),由式中的,任意性可知,數(shù)列不遞減,

所以對任意恒成立,

所以對任意恒成立,

顯然,當(dāng),時,單調(diào)遞減,

所以當(dāng)時,取得最大值,

所以.

,故,即.

綜上所述,公比的取值集合為.

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