Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的方程為.

（1）求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)曲線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），求.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式:即可求解;

聯(lián)立直線(xiàn)的方程和曲線(xiàn)的方程,整理化簡(jiǎn)得到關(guān)于的一元二次方程,由題知點(diǎn)在直線(xiàn)上,利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及一元二次方程中的韋達(dá)定理即可求出的值.

因?yàn)榍�線(xiàn)的方程，

∴，

∴，

化簡(jiǎn)得,曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為：.

（2）把直線(xiàn)代入曲線(xiàn)得，

整理得，.

∵，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根，

設(shè)為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可得,

，，∴為異號(hào)，

又∵點(diǎn)（3，1）在直線(xiàn)上，由參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得,

.

所以.