Question

【題目】已知函數(shù)，其中常數(shù).

（1）令，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)，求函數(shù)的解析式；

（2）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（3）在（1）的條件下的函數(shù)的圖像，區(qū)間且滿(mǎn)足：在上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿(mǎn)足上述條件的中，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)正弦函數(shù)平移“左加右減、上加下減”的法則即可求得；

（2）利用范圍可求得的范圍，根據(jù)單調(diào)性可得不等式組，解不等式組求得；由可求得，兩個(gè)范圍取交集得到最終結(jié)果；

（3）令可求得零點(diǎn)，進(jìn)而得到相鄰零點(diǎn)之間的距離；若最小，知均為零點(diǎn)，此時(shí)在恰有個(gè)零點(diǎn)，從而得到在至少有一個(gè)零點(diǎn)；根據(jù)相鄰零點(diǎn)之間距離即可得到滿(mǎn)足的條件，進(jìn)而求得所求的最小值.

（1）

，即

（2） 當(dāng)時(shí)，

，，解得：，

又

即的取值范圍為

（3）令得：

或，

解得：或，

相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為或

若最小，則均為的零點(diǎn)，此時(shí)在區(qū)間，，…，分別恰有個(gè)零點(diǎn)

在區(qū)間恰有個(gè)零點(diǎn) 至少有一個(gè)零點(diǎn)

，即

檢驗(yàn)可知，在恰有個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足題意

的最小值為