Question

【題目】定義區(qū)間[x1 ， x2]的長度為x2﹣x1（x2＞x1）單調(diào)遞增），函數(shù) （a∈R，a≠0）的定義域與值域都是[m，n]（n＞m），則區(qū)間[m，n]取最大長度時實數(shù)a的值（ ）
A.
B.﹣3
C.1
D.3

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由題意得，函數(shù)f（x）的定義域是{x|x≠0}， ∵[m，n]是其定義域的子集，∴[m，n]（﹣∞，0）或（0，+∞）．
∵f（x）= 在[m，n]上是增函數(shù)，
∴由條件得 ，則m，n是方程f（x）=x的同號相異的實數(shù)根，
即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同號相異的實數(shù)根．
∴mn= ，m+n= = ，
則△=（a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞1或a＜﹣3．
∴n﹣m= = =
= ，
∴n﹣m的最大值為 ，此時 ，解得a=3，
即在區(qū)間[m，n]的最大長度為 時，a的值是3．
故選D．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)的值域(求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的)．