Question

【題目】定義區(qū)間[x1 ， x2]的長(zhǎng)度為x2﹣x1（x2＞x1）單調(diào)遞增），函數(shù) （a∈R，a≠0）的定義域與值域都是[m，n]（n＞m），則區(qū)間[m，n]取最大長(zhǎng)度時(shí)實(shí)數(shù)a的值（ ）
A.
B.﹣3
C.1
D.3

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由題意得，函數(shù)f（x）的定義域是{x|x≠0}， ∵[m，n]是其定義域的子集，∴[m，n]（﹣∞，0）或（0，+∞）．
∵f（x）= 在[m，n]上是增函數(shù)，
∴由條件得 ，則m，n是方程f（x）=x的同號(hào)相異的實(shí)數(shù)根，
即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同號(hào)相異的實(shí)數(shù)根．
∴mn= ，m+n= = ，
則△=（a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞1或a＜﹣3．
∴n﹣m= = =
= ，
∴n﹣m的最大值為 ，此時(shí) ，解得a=3，
即在區(qū)間[m，n]的最大長(zhǎng)度為 時(shí)，a的值是3．
故選D．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的值域(求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最�。ù螅�數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的)．