Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，若在區(qū)間上的最小值為，求的取值范圍；

（2）若對任意， ，且恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題意當(dāng)a>0時，求導(dǎo)，令f′（x）=0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，分類討論，求得f（x）的最小值，求得a的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+2x，求導(dǎo)，令當(dāng)a=0時，，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a≠0時，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得a的取值范圍．

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域是.當(dāng)時，

，

令，得，

所以或.

當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是；

當(dāng)時，在上的最小值是，不合題意；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減， 在上的最小值是，

不合題意，

綜上：.

（2）設(shè)，即，

只要在上單調(diào)遞增即可，而，

當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，只需在上恒成立，因為，只要，

則需要，對于函數(shù)，過定點，對稱軸，只需

即，綜上，.