Question

已知點(diǎn)M是曲線y=

1

3

x3-2x2+3x+1上任意一點(diǎn)，曲線在M處的切線為l，求：
（1）斜率最小的切線方程
（2）切線l的傾斜角的α的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)行配方，可得斜率最小值，從而可求切線方程；
（2）由（1）得k≥-1，即tanα≥-1，利用正切函數(shù)的單調(diào)性，可得切線l的傾斜角的α的取值范圍．

解答： 解：（1）∵y=

1

3

x3-2x2+3x+1，
∴y′=x²-4x+3=（x-2）²-1≥-1，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y′=-1，y=

5

3

，
∴斜率最小的切線方程為y-

5

3

=-（x-2），即3x+3y-11=0；
（2）由（1）得k≥-1，
∴tanα≥-1，
∴α∈[0，

π

2

）∪[

3π

4

，π），
∴切線l的傾斜角的α的取值范圍是[0，

π

2

）∪[

3π

4

，π）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查切線方程，考查正切函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．