Question

已知函數(shù)f(x)=cos

x

2

-2sin2(

x

4

-

π

6

)
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及值域；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可求得f（x）=

3

sin（

x

2

+

π

3

）-1，從而可求f（x）的最小正周期及其值域；
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得g（x）=

3

sin（

x

4

+

π

6

）-1，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得其單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos

x

2

-（1-cos（

x

2

-

π

3

））
=cos

x

2

+cos（

x

2

-

π

3

）-1
=cos

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

3

2

sin

x

2

-1
=

3

（

3

2

cos

x

2

+

1

2

sin

x

2

）-1
=

3

sin（

x

2

+

π

3

）-1，
∴f（x）的最小正周期為T=4π，值域?yàn)閇-

3

-1，

3

-1]；
（Ⅱ）將f（x）=

3

sin（

x

2

+

π

3

）-1的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=

3

sin[

1

2

（x-

π

3

）+

π

3

]-1=

3

sin（

x

2

+

π

6

）-1的圖象，
再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到g（x）=

3

sin（

x

4

+

π

6

）-1的圖象；
令

π

2

+2kπ≤

x

4

+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
得8kπ+

4π

3

≤x≤8kπ+

16π

3

，k∈Z，
∴函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[8kπ+

4π

3

，8kπ+

16π

3

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換及正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查綜合運(yùn)算與求解能力，屬于中檔題．