Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知傾斜角為的直線過點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線分別交于、兩點(diǎn)．

（1）寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）.

【解析】

（1）由傾斜角為的直線過點(diǎn)，能求出直線的參數(shù)方程；曲線的極坐標(biāo)方程化為，由此能求出曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，可得出關(guān)于的一元二次方程，列出韋達(dá)定理，利用的幾何意義結(jié)合條件可得出關(guān)于的三角方程，求出的值，即可得出直線的斜率的值.

（1）傾斜角為的直線過點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以得，

因此，曲線的直角坐標(biāo)方程為；

（2）曲線的直角坐標(biāo)方程可化為，

將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，

整理得，，得.

設(shè)、兩點(diǎn)在直線上對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、，由韋達(dá)定理得，，

，，即，所以，

解得滿足，此時(shí)，

所以，，因此，直線的斜率為.