【題目】如圖,在三角形中,,,平面與半圓弧所在的平面垂直,點為半圓弧上異于的動點,為的中點.
(1)求證:;
(2)當(dāng)三棱錐體積最大時,求銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì),可得;圓的性質(zhì),易得,利用直線與平面垂直的判定可知平面,即可證明.
(2)根據(jù)題意,可知三棱錐體積最大時,點處在半圓弧的中點.建立空間直角坐標(biāo)系.求得平面與平面的法向量,利用法向量即可求得二面角夾角的余弦值.
(1)證明:因為平面與半圓所在的平面垂直,交線為,又,
所以垂直于半圓所在平面,
又在半圓面內(nèi),故,
又為直徑,點為半圓弧上一點,故,
且,因此平面,
又平面,所以;
(2)
三棱錐體積最大時,點處在半圓弧的中點,
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,由題意知,
則,
設(shè)平面的一個法向得為,
由,
令,則,
故,
設(shè)平面的一個法向量為,,
由,令,則,
故,
此時
由圖可知,二面角為銳二面角
所以二面角的余弦值為.
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【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面,為等邊三角形,且,,分別為,的中點.
(1)求證:平面;
(2)求直線和平面所成角的正切值;
(3)求三棱錐的體積.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知傾斜角為的直線過點,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為,直線與曲線分別交于、兩點.
(1)寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若,求直線的斜率.
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【題目】《九章算術(shù)》中《方田》章有弧田面積計算問題,計算術(shù)曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是,弧田面積計算公式為:弧田面積(弦乘矢+矢乘矢),弧田是由圓。ê喎Q為弧田的弧)和以圓弧的端點為端點的線段(簡稱 (弧田的弦)圍成的平面圖形,公式中“弦”指的是弧田的弦長,“矢”等于弧田的弧所在圓的半徑與圓心到弧田的弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田,其弦長等于,其弧所在圓為圓,若用上述弧田面積計算公式計算得該弧田的面積為,則( )
A.B.C.D.
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【題目】已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左右焦點為F1,F2過點F1的直線l與雙曲線C的左支交于AB兩點,△BF1F2的面積是△AF1F2面積的三倍,∠F1AF2=90°,則雙曲線C的離心率為( 。
A.B.C.D.
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【題目】已知某工廠每天固定成本是4萬元,每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元,工廠每件產(chǎn)品的出廠價定為元時,生產(chǎn)件產(chǎn)品的銷售收入是(元),為每天生產(chǎn)件產(chǎn)品的平均利潤(平均利潤=總利潤/總產(chǎn)量).銷售商從工廠每件元進(jìn)貨后又以每件元銷售, ,其中為最高限價, 為銷售樂觀系數(shù),據(jù)市場調(diào)查, 是由當(dāng)是, 的比例中項時來確定.
(1)每天生產(chǎn)量為多少時,平均利潤取得最大值?并求的最大值;
(2)求樂觀系數(shù)的值;
(3)若,當(dāng)廠家平均利潤最大時,求與的值.
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【題目】《漢字聽寫大會》不斷創(chuàng)收視新高,為了避免“書寫危機”,弘揚傳統(tǒng)文化,某市大約10萬名市民進(jìn)行了漢字聽寫測試.現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機抽取50名市民的聽寫測試情況,發(fā)現(xiàn)被測試市民正確書寫漢字的個數(shù)全部在160到184之間,將測試結(jié)果按如下方式分成六組:第1組,第2組,…,第6組,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)若電視臺記者要從抽取的市民中選1人進(jìn)行采訪,求被采訪人恰好在第2組或第6組的概率;
(2)試估計該市市民正確書寫漢字的個數(shù)的眾數(shù)與中位數(shù);
(3)已知第4組市民中有3名男性,組織方要從第4組中隨機抽取2名市同組成弘揚傳統(tǒng)文化宣傳隊,求至少有1名女性市民的概率.
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