Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求的最大值；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】分析：（1）給定區(qū)間求最值需先求導(dǎo)判出在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）構(gòu)造新函數(shù)，運(yùn)用放縮進(jìn)行處理。先證，又由，，所以。

詳解：（1）解：當(dāng)時(shí)，，

由，得，所以時(shí)，；時(shí)，，

因此的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

的最大值為 .

（2）證明：先證，

令，

則 ，

由，與的圖象易知，存在，使得，

故時(shí)，；時(shí)，，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

所以的最大值為，

而，.

又由，，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，取“=”成立，即.

點(diǎn)晴：導(dǎo)數(shù)是做題的工具，在解決問題時(shí)，一般首先要對題干的轉(zhuǎn)化，帶著目標(biāo)做下手，一般都是轉(zhuǎn)化成最值的問題，然后最值的問題都是利用單調(diào)性去解決