Question

【題目】已知，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，問(wèn)：數(shù)列中是否存在不同兩項(xiàng)，（，i，），使仍是數(shù)列中的項(xiàng)?若存在，請(qǐng)求出i，j；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）存在，，

【解析】

（1）先根據(jù)，求出，再根據(jù)可得，然后兩式作差，得到，再求出首項(xiàng)，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)，通過(guò)遞推，可證數(shù)列為等差數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；
（3）由，假設(shè)數(shù)列中存在不同兩項(xiàng)，（，，），然后根據(jù)條件找出滿足條件的，值即可.

（1）∵數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足

∴，

由，得.
∴，且，即.
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列

∴

（2）∵①

時(shí)，②

①②得

∴，

時(shí)，，∴

∴

∴為等差數(shù)列

∴

（3），假設(shè)中存在不同的兩項(xiàng)，（），使（）

注意到.

∴單調(diào)遞增

由，則.

∴

令（），∴

∴

∵

∴，而

∴，

令，則

∴為單調(diào)遞增，注意到時(shí)，，

∴m只能為1，2，3

①當(dāng)時(shí)，

∴，故i只能為1，2，3

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)整數(shù)解，舍

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，無(wú)正整數(shù)解，舍去

②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)

∴，此時(shí)，無(wú)解

③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，無(wú)正整數(shù)解，舍去.

綜上：存在，滿足題意.