Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（Ⅱ）若g（x）=log₂（2^x-1）（x＞0），且關于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）設u（x）=2^x+1，運用指數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷證明．
（2）轉(zhuǎn)化為-m=f（x）值域求解范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）
∴u（x）=2^x+1，
∵設x₁＜x₂，2 x1＜2 x2，0＜2 x1+1＜2 x2+1，
∴0＜u（x₁）＜u（x₂），
∴l(xiāng)og

u(x) 2

＜log

u(x) 2

，
f（x₁）＜f（x₂）
∵x₁＜x₂，∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
（2）設t（x）=2^x-1，（1≤x≤2），1≤t（x）≤3，0≤log

t(x) 2

≤lo

g

3 2

∵于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，
∴g（x）=m+f（x）=0，
0≤-m≤lo

g

3 2

，
故m的取值范圍．[-log

3 2

，0]

點評：本題綜合考查了指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的定義，不等式，方程與函數(shù)的關系，屬于中檔題．