Question

若向量

a

=（

3

，cos²x+

m

2

），

b

=（sin2x，2）．
（1）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)

a

•

b

的最大值為6，求m的值；
（2）設(shè)f（x）=

a

•

b

，當(dāng)x∈R時(shí)，求f（x）的最小值及對應(yīng)的x的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式和二倍角的余弦公式以及兩角和的正弦公式，再由正弦函數(shù)的最值性質(zhì)，即可求得m；
（2）由（1）得到f（x）的函數(shù)式，再由正弦函數(shù)的最值性，即可得到最小值和相應(yīng)x的集合．

解答： 解：（1）向量

a

=（

3

，cos²x+

m

2

），

b

=（sin2x，2），
則

a

•

b

=

3

sin2x+2cos²x+m
=

3

sin2x+cos2x+1+m=2sin(2x+

π

6

)+1+m，
由于0≤x≤

π

2

，即0≤x≤π，則

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
則有當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

時(shí)，則有sin(2x+

π

6

)最大值為1．
故由

a

•

b

的最大值為6，即6=2+1+m，解得m=3；
（2）由（1）得，f(x)=2sin(2x+

π

6

)+4，
當(dāng)x∈R，f（x）的最小值為-2，
此時(shí)2x+

π

6

=2kπ-

π

2

即x的取值集合為{x|x=kπ-

π

3

(k∈Z)}．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)用，考查三角恒等變換公式的運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．