Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+sinxcosx+2cos²x，x∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[

π

2

，π]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的降冪公式與輔助角公式可求得f（x）=

3

2

+

2

2

sin（2x+

π

4

），從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期和遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由x∈[

π

2

，π]，得到（2x+

π

4

）的范圍進(jìn)一步求函數(shù)值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin²x+sinxcosx+2cos²x
=1+

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

=

3

2

+

2

2

sin（2x+

π

4

），
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
因?yàn)閥=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

.2kπ+

π

2

]，
所以令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]；
（II）因?yàn)閤∈[

π

2

，π]，所以2x+

π

4

∈[

5π

4

，

9π

4

]，sin（2x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]，
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋篬

3

2

-

2

2

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)恒等式的化簡以及三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，首先要正確化簡三角函數(shù)式為y=Asin（ωx+φ）+k的形式，然后解答相關(guān)知識(shí)．