Question

【題目】已知函數(shù)，，設(shè).

（Ⅰ）若在處取得極值，且，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若時(shí)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、.

①求的取值范圍；②求證：.

Answer 1

【答案】（1）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)增；在區(qū)間（1,+）上單調(diào)減.（2）①（，0）②詳見解析

【解析】

試題（1）先確定參數(shù)：由可得a=b-3. 由函數(shù)極值定義知所以a=" -2,b=1" .再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間（2）①當(dāng)時(shí)，，原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，先研究函數(shù)圖像，再確定b的取值范圍是（，0）.

②，由題意得,所以，因此須證，構(gòu)造函數(shù)，即可證明

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，所以,

由可得a=b-3.

又因?yàn)?/span>在處取得極值，

所以，

所以a=" -2,b=1" .

所以，其定義域?yàn)椋?/span>0，+）

令得，

當(dāng)（0,1）時(shí)，，當(dāng)（1,+），

所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)增；在區(qū)間（1,+）上單調(diào)減.

（2）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?/span>0，+）.

①由得，記，則,

所以在單調(diào)減，在單調(diào)增，

所以當(dāng)時(shí)取得最小值.

又，所以時(shí)，而時(shí),

所以b的取值范圍是（，0）.

②由題意得,

所以,

所以，不妨設(shè)x1<x2,

要證, 只需要證.

即證，設(shè),

則,

所以,

所以函數(shù)在（1，+）上單調(diào)增，而，

所以即,

所以.