Question

已知定義在R上的偶函數滿足：f（x+4）=f（x）+f（2），且當x∈[0，2]時，y=f（x）單調遞減，給出以下四個命題：
①f（2）=0；  
②x=4是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸；  
③函數y=f（x）在區(qū)間[6，8]上單調遞增；
④若方程f（x）=0．在區(qū)間[-2，2]上有兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=0．
以上命題正確的是

 

．（填序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：①由于f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2，及函數f（x）是偶函數即可得出；
②由①可知：f（x+4）=f（x），可得周期T=4，再利用函數f（x）是偶函數，關于y軸對稱，可得x=4也是其對稱軸；
③當x∈[0，2]時，y=f（x）單調遞減，又函數f（x）是偶函數，可得函數f（x）在x∈[0，2]時單調遞增．再利用其周期性可得：函數f（x）在區(qū)間[6，8]上單調遞增；
④利用當x∈[0，2]時，y=f（x）單調遞減，f（2）=0，可知：在x∈[0，2]時，只有f（2）=0．
同理在區(qū)間[-2，0）上只有f（-2）=0，即可得出．

解答： 解：①∵f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2，則f（-2+4）=f（-2）+f（2），∴f（2）=2f（2），解得f（2）=0，因此①正確；
②由①可知：f（x+4）=f（x），∴f（4-x）=f（-x）=f（x），∴x=2是函數f（x）的對稱軸，周期T=4，
又函數f（x）是偶函數，關于y軸對稱，因此x=4也是其對稱軸，故正確；
③當x∈[0，2]時，y=f（x）單調遞減，又函數f（x）是偶函數，∴函數f（x）在x∈[0，2]時，y=f（x）單調遞增．∵T=4，∴函數f（x）在區(qū)間[6，8]上單調遞增，因此正確；
④∵當x∈[0，2]時，y=f（x）單調遞減，f（2）=0，∴當x∈[0，2）時，f（x）＞0，不妨取x₂=2，
則f（x₂）=0．同理在區(qū)間[-2，0）上只有f（-2）=0，取x₁=-2，滿足f（x₁）=0．
可知：x₁+x₂=-2+2=0．因此正確．
綜上可知：①②③④都正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題綜合考查了函數奇偶性、單調性、周期性，考查了推理能力和數形結合能力，屬于難題．