Question

已知橢圓C的一個焦點在拋物線y²=4x的準線上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C的左、右焦點，P是橢圓C上任意一點，且|PF₁|•|PF₂|的最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A、B，滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標原點），當|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

時，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件結(jié)合拋物線性質(zhì)求出c=1，由橢圓的定義結(jié)合不等式性質(zhì)求出a²=2，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），聯(lián)立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出實數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由拋物線y²=4x的準線是x=-1，
得橢圓C的一個焦點是F₁（-1，0），即c=1，
由橢圓的定義知|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|PF₁|•|PF₂≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²，
當且僅當|PF₁|=|PF₂|=a時取等號，
∴a²=2，∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在，
設(shè)直線AB的斜率為k，則其方程為y=k（x-2），
聯(lián)立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k²-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，解得k2＜

1

2

，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
則x1+x2 =

8k2

1+2k2

，x1•x2=

8k2-2

1+2k2

，
∵

OA

+

OB

=t

OP

，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴x=

x1+x2

t

，y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

，
∵點P在橢圓上，∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2×

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2，
整理，得16k²=t²（1+2k²），
又∵|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

，∴|

AB

|＜

2 5

3

，
∴

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

•

[(x1+x2)2-4x1x2]

＜

2 5

3

，
∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
化簡，得56k⁴+38k²-13＞0，
解得k2＞

1

4

，
∴

1

4

＜k2＜

1

2

，
又∵16k²=t²（1+2k²），∴t2=

16k2

1+2k2

=8-

8

1+2k2

，
∵

1

4

＜k2＜

1

2

，
∴

8

3

＜t2＜4，
解得-2＜t＜-

2 6

3

或

2 6

3

＜t＜2，
∴所求實數(shù)的取值范圍是(-2，-

2 6

3

)∪(

2 6

3

，2)．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．