已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q兩點，M是PQ的中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于點N．
（1）當(dāng)l與m垂直時，求證：直線l必過圓心C；
（2）當(dāng)|PQ|=2
3
時，求直線l的方程；
（3）求證：
AM
•
AN
是定值．
考點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：直線與圓
分析：（1）根據(jù)直線m的一個法向量為（1，3），求得直線l的一個方向向量，由此求得l的點向式方程，可得直線l過圓心．
（2）由|PQ|=2
3
得，圓心C到直線l的距離d=1，設(shè)直線l的方程為x-ny+1=0，求得n的值，可得直線l的方程．
（3）由條件求得
AM
•
AN
=
AC
•
AN
，設(shè)N（xN，yN），可得
AC
•
AN
=（xN+1+3yN）=（xN+3yN）+1．
因為點N在直線m上，可得xN+3yN=-6，從而求得
AM
•
AN
 為定值．
解答： 解：（1）因為l與m垂直，直線m的一個法向量為（1，3），
所以直線l的一個方向向量為
d
=（1，3），所以l的方程為
x+1
1
=
y
3
，即3x-y+3=0．
所以直線l過圓心C（0，3）．
（2）由|PQ|=2
3
得，圓心C到直線l的距離d=1，
設(shè)直線l的方程為x-ny+1=0，則由d=
|1-3n|
1+n2
=1．
解得n=0，或n=
3
4
，
所以直線l的方程為x+1=0或4x-3y+4=0．
（3）因為CM⊥l，所以
AM
•
AN
=（
AC
+
CM
）•
AN
=
AC
•
AN
+
CM
•
AN
=
AC
•
AN
．
設(shè)N（xN，yN），則
AN
=（xN+1，yN），又
AC
=（1，3），
故
AC
•
AN
=（xN+1+3yN）=（xN+3yN）+1．
因為點N在直線m上，所以 xN+3yN+6=0，即xN+3yN=-6，
所以
AM
•
AN
=
AC
•
AN
-6+1=-5 （定值）．
點評：本題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì)，點到直線的距離公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）試把三進(jìn)制10212（3）轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制．
（2）試把十進(jìn)制1234轉(zhuǎn)化為七進(jìn)制．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的一個焦點在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的左、右焦點，P是橢圓C上任意一點，且|PF1|•|PF2|的最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A、B，滿足
OA
+
OB
=t
OP
（O為坐標(biāo)原點），當(dāng)|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
時，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1，
（1）設(shè)集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4，}，分別從集合P和集合Q中任取一個數(shù)作為a和b的值，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）若a是從區(qū)間[1，3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[1，3]任取的一個數(shù)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=-x2+（2m+2）x-（m2+4m-3），m為不小于0的整數(shù)，其圖象交x軸負(fù)半軸于點A，交x軸正半軸于點B
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點A并與二次函數(shù)的圖象交于點C，且△ABC的面積為10，求一次函數(shù)的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：如果數(shù)列{an}的任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則稱{an}為“三角形”數(shù)列．對于“三角形”數(shù)列{an}，如果函數(shù)y=f（x）使得bn=f（an）仍為一個“三角形”數(shù)列，則稱y=f（x）是數(shù)列{an}的“保三角形函數(shù)”，（n∈N*）．
（Ⅰ）已知數(shù)列{cn}的首項為2010，Sn是數(shù)列{cn}的前n項和，且滿足4Sn+1-3Sn=8040，證明{cn}是“三角形”數(shù)列；
（Ⅱ）已知{an}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，若f（x）=kx，（k＞1）是數(shù)列{an}的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點，過A點作⊙O1的切線交⊙O2于點E，連接EB并延長交⊙O1于點C，直線CA交⊙O2于點D．
（Ⅰ）當(dāng)點D與點A不重合時（如圖①），證明ED2=EB•EC；
（Ⅱ）當(dāng)點D與點A重合時（如圖②），若BC=2，BE=6，求⊙O2的直徑長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=sin2x+asinx+1的最小值g（a）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-5，則（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展開式中x4項的系數(shù)是數(shù)列{an}中的第
 
項．

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