Question

在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

．
（1）求角A的大��；
（2）若BC邊上高為1，求△ABC面積的最小值？

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：解三角形

分析：（1）利用三角形內(nèi)角和，轉(zhuǎn)化B+C，用誘導(dǎo)公式、降冪公式、倍角公式化簡(jiǎn)，得到關(guān)于cosA的方程，求得cosA，進(jìn)而求得A．
（2）在Rt△ABD，Rt△ACD中，sinB=

1

c

，sinC=

1

b

，代入三角形面積公式，求得面積的最值，只需化簡(jiǎn)求表達(dá)式中分母的最值，將C用B表示，利用兩角和公式化簡(jiǎn)，利用B的范圍求得分母的最值，進(jìn)而求得面積的最值．

解答： 解：（1）∵A+B+C=π，
∴sin

B+C

2

=sin

π-A

2

=cos

A

2

，
∵4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

．
∴4cos²

A

2

-cos2A=

7

2

．
∴2（1+cosA）-（2cos²A-1）=

7

2

，
整理得（2cosA-1）²=0，
∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
（2）S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

1

sinB

×

1

sinC

×

3

2

=

3

4sinBsinC

，
設(shè)y=4sinBsinC，
則y=4sinBsin（

2π

3

-B）=2

3

sinBcosB+2sin²B=

3

sin2B+1-cos2B=2sin（2B-

π

6

）+1，
∵0＜B＜

π

2

，0＜

2π

3

-B＜

π

2

，
∴

π

6

＜B＜

π

2

，

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴當(dāng)2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時(shí)，y有最大值為3，
∴此時(shí)S有最小值，為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和與差的爭(zhēng)先公式，二倍角公式，誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換的能力和計(jì)算能力．