Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，四個(gè)頂點(diǎn)所圍成菱形的面積為8

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若A、B兩點(diǎn)在橢圓C上，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，且滿足k_OA•k_OB=-

1

2

，
（i）求

.

OA

•

.

OB

的取值范圍；
（ii）求△AOB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）利用菱形的面積和橢圓的性質(zhì)即可得出；
（II）（i）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、再利用斜率的計(jì)算公式、數(shù)量積運(yùn)算即可得出；
（ii）利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式及三角形的面積公式即可得出．

解答： 解：（I）由已知可得

e= c a = 2 2 1 2 •2a•2b=8 2 a2=b2+c2

解得c=2，b=2，a²=8．
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（II）（i）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+m x2+2y2=8

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）＞0，化為8k²+4＞m²，①
∴x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

．
∵滿足k_OA•k_OB=-

1

2

，∴

y1y2

x1x2

=-

1

2

．
∴y1y2=-

1

2

x1x2=-

1

2

•

2m2-8

1+2k2

=-

m2-4

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2•

2m2-8

1+2k2

+km•

-4km

1+2k2

+m2=

m2-8k2

1+2k2

．
∴-

m2-4

1+2k2

=

m2-8k2

1+2k2

，
∴4k²+2=m²，
∵

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

2m2-8

1+2k2

-

m2-4

1+2k2

=

m2-4

1+2k2

=

4k2+2-4

1+2k2

=2-

4

1+2k2

，
∴-2≤

OA

•

OB

＜2，
又直線AB的斜率不存在時(shí)

OA

•

OB

=2，∴

OA

•

OB

的取值范圍是[-2，2]．
（ii）設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，
則S_△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

1+k2

•|x1-x2|•

|m|

1+k2

=

|m|

2

(x1+x2)2-4x1x

2
=

|m|

2

( -4km 1+2k2 )2-4× 2m2-8 1+2k2

=2

4k2-m2+4

=2

2

．
∴△AOB的面積為2

2

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率的計(jì)算公式、數(shù)量積運(yùn)算、弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式及三角形的面積公式、菱形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．