Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）證明：對任意的在區(qū)間內(nèi)均存在零點．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時，
，……………………2分
,
所以曲線在點處的切線方程為.        ……………4分
（Ⅱ），令，解得 ……………6分
因為，以下分兩種情況討論：      
（1）若變化時，的變化情況如下表：

	+		+

   
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是.………8分
（2）若，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

	+		+

   
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是……………………………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)時，在內(nèi)的單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
以下分兩種情況討論：
（1）當(dāng)時，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
.
所以對任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點.………………………12分
（2）當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
若,
.  所以內(nèi)存在零點.
若.
,        所以內(nèi)存在零點. …………………13分
所以，對任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點.
綜上，對任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點.  …………………14分

略