Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)滿足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）1（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)求出a的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)；

（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性；；

（3）結(jié)合已知條件與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得．令，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性得，進(jìn)而得證．

（1）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>在處取得極值，所以，解得．

驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，易得在處取得極大值．

（2）因?yàn)?/span>，

所以．

①若，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．

②若，，

當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（3）證明：當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>，所以，

即，所以．

令，，則，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

所以函數(shù)在時(shí)，取得最小值，最小值為． 所以，

即，所以或．

因?yàn)?/span>為正實(shí)數(shù)，所以．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在滿足條件，

所以．