Question

已知全集U={1，2，3，4，…，n}，集合A滿足①A⊆U；②若x∈A，則kx∉A；③若x∈∁_UA，則kx∉∁_UA，（其中k，n∈N^*）；f_k（n）表示滿足條件的集合A的個數(shù)．
（1）求f₂（4），f₂（5）；
（2）求f₃（2013）；
（3）記集合A的所有元素之和為集合A的“和”，當(dāng)n=pk+q時，（其中p，q∈N，0≤q＜k），求所有集合A的“和”的和．

Answer 1

考點：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,元素與集合關(guān)系的判斷,補集及其運算

專題：集合

分析：（1）由題意知，當(dāng)n=4，k=2時，滿足條件的集合A有：{1，4}，{1，3，4}，{2}，{2，3}；當(dāng)n=5時，k=2時，滿足條件的集合A有：{1，4}，{1，3，4}，{1，4，5}，{1，3，4，5}，{2}，{2，5}，{2，3}，{2，3，5}．由此能求出f₂（4），f₂（5）．
（2）設(shè)B是由U中所有不被3整除的數(shù)構(gòu)成的集合，則f₃（2013）等于B的子集個數(shù)，由此能求出f₃（2013）．
（3）由（2），同理可知，當(dāng)n=pk+q時，fk(n)=2n-p，而U中每個元素在所有集合中出現(xiàn)的次數(shù)均相同，都為2^n-p-1，共有2^n-p-1對符合條件的A與C_UA，由此能求出所有集合A的“和”的和．

解答： 解：（1）由題意知，當(dāng)n=4，k=2時，
滿足條件的集合A有：{1，4}，{1，3，4}，{2}，{2，3}，
∴f₂（4）=4．
當(dāng)n=5時，k=2時，滿足條件的集合A有：
{1，4}，{1，3，4}，{1，4，5}，{1，3，4，5}，{2}，{2，5}，{2，3}，{2，3，5}，
∴f₂（5）=8．
（2）當(dāng)n=2013，k=3時，任取x∈U，則x可以表示為：
x=m•3^t，其中t∈N，m不能被3整除，
由題意知：若m∈A，則x∈A?t為偶數(shù)；
若m∉A，則x∈A?t為奇數(shù)，
設(shè)B是由U中所有不被3整除的數(shù)構(gòu)成的集合，
則f₃（2013）等于B的子集個數(shù)，
∴f₃（2013）=2^2013-671=2¹³⁴²．
（3）由（2），同理可知，當(dāng)n=pk+q時，fk(n)=2n-p，
而U中每個元素在所有集合中出現(xiàn)的次數(shù)均相同，都為2^n-p-1，
共有2^n-p-1對符合條件的A與C_UA，
故所有集合A的“和”之和為：
（1+2+3+…+n）×2^n-p-1=n（n+1）•2^n-p-2．

點評：本題考查滿足條件的集合的個數(shù)的求法，考查所有集合A的“和”的和的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．