Question

有一直角過道，兩部分的過道寬分別為1米和3

3

米，若一根竹竿在水平放置時能通過該過道，求竹竿的長度的最大值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：計算題,應用題,函數的性質及應用

分析：設∠ABO=θ，竹竿的長度為l，求出函數l（θ）的表達式，并求l（θ）的值域，先研究其單調性，求出函數的最小值，然后說明一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值即為該值．

解答： 解：設∠ABO=θ，竹竿的長度為l，
根據圖得：l（θ）=BP+AP=

1

sinθ

+

3 3

cosθ

，θ∈（0，

π

2

），
∴l(xiāng)′（θ）=（

1

sinθ

）′+（

3 3

cosθ

）′
=

-cosθ

sin2θ

+

3 3 sinθ

cos2θ

．
令l'（θ）=0得，cosθ=

3

sinθ，θ=

π

6

．
當0＜θ＜

π

6

時，l'（θ）＜0，l（θ）為減函數；
當

π

6

＜θ＜

π

2

時，l'（θ）＞0，l（θ）為增函數；
所以當θ=

π

6

時，l（θ）有最小值8，
故一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為8米．

點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，還考查了三角函數的定義，導數法求函數最值等，同時考查了計算能力，屬于中檔題．