Question

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費（單位：萬元）對年銷售量（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響。對近六年的年宣傳費和年銷售量的數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：

年份	2011	2012	2013	2014	2015	2016
年宣傳費（萬元）	38	48	58	68	78	88
年銷售量（噸）	16．8	18．8	20．7	22．4	24．0	25．5

經(jīng)電腦模擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費（萬元）與年銷售量（噸）之間近似滿足關系式即。對上述數(shù)據(jù)作了初步處理，得到相關的值如下表：

75．3	24．6	18．3	101．4

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關于的回歸方程；

（2）規(guī)定當產(chǎn)品的年銷售量（噸）與年宣傳費（萬元）的比值在區(qū)間內(nèi)時認為該年效益良好。現(xiàn)從這6年中任選3年，記其中選到效益良好年的數(shù)量為，試求隨機變量的分布列和期望。（其中為自然對數(shù)的底數(shù)， ）

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為

Answer 1

【答案】(1) ；(2)見解析.

【解析】【試題分析】（1）先運用轉化的思想對兩邊取對數(shù)得，再換元令

得，借助題設中給的數(shù)據(jù)，求得： ， 進而算得

， ，于是

， ，得，故所求回歸方程為。

（2）先借助題設條件，于是求出，即6年中有三年是“效益良好年”， 求得， ，從而求出分布列和數(shù)學期望。

解：（1）對兩邊取對數(shù)得，令

得，由題給數(shù)據(jù)，得： ， 2分

， ，于是

， ，得，故所求回歸方程為。

（2）由，于是，即6年中有三年是“效益良好年”， ，由題得，

所以 的分布列如表所示，且 。