Question

甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球，n個(gè)白球．從甲，乙兩袋中各任取2個(gè)球．
（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，記取到的4個(gè)球中是白球的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望；
（Ⅱ）若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為

3

4

，求n．

Answer 1

考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）當(dāng)n=1時(shí)，分別求出取到的4個(gè)球中是白球的個(gè)數(shù)為ξ（ξ=0，1，2，3）的概率，可得ξ的分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式，可得答案．
（II）由取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為

3

4

，構(gòu)造關(guān)于n的方程，解方程可得答案．

解答： 解：（ I）∵ξ的取值可能為0，1，2，3，
且P（ξ=0）=

C 2 2 • C 2 2

C 2 4 • C 2 3

=

1

18

，
P（ξ=1）=

C 2 2 • C 1 2 + C 1 2 • C 1 2 • C 2 2

C 2 4 • C 2 3

=

6

18

，
P（ξ=2）=

C 2 2 • C 2 2 + C 1 2 • C 1 2 • C 1 2 • C 2 2

C 2 4 • C 2 3

=

9

18

，
P（ξ=3）=

C 2 2 • C 1 2

C 2 4 • C 2 3

=

2

18

，
∴ξ的分布列如下表所示：

ξ	0	1	2	3
P	1 18	6 18	9 18	2 18

∴ξ的數(shù)學(xué)期望：E（ξ）=0×

1

18

+1×

6

18

+2×

9

18

+3×

2

18

=

30

18

=

5

3

，
（ II）∵取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為

3

4

，
∴

C 1 2 • C 1 2

C 2 4

•

C 2 n

C 2 n+2

+

C 2 2

C 2 4

•

C 1 2 • C 1 n

C 2 n+2

+

C 2 2

C 2 4

•

C 2 n

C 2 n+2

=

2n2

3(n+2)(n+1)

+

n(n-1)

6(n+2)(n+1)

=

1

4

，
化簡(jiǎn)，得7n²-11n-6=0，解得n=2，或n=-

3

7

（舍去），
故n=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來(lái)理科高考必出的一個(gè)問(wèn)題，題目做起來(lái)不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問(wèn)題不大．