Question

已知橢圓C的一個焦點F₁（-

3

，0），經(jīng)過點A（1，

3

2

），對稱軸為坐標軸．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點D（0，

5

3

）的直線l交橢圓C于M、N兩點，線段MN中點為Q，點B（-1，0），當l⊥QB時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），且滿足

a2-b2=3 1 a2 + 3 4b2 =1

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）當l⊥x軸時，l的方程為x=0，符合題意．當l與x軸不垂直時，設l方程為y=kx+

5

3

，（k≠0）代入

x2

4

+y2=1，得（9+36k²）x²+120kx+64=0，由此利用根的判別式和韋達定理結合已知條件求出l的方程為y=x+

5

3

．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C的一個焦點F₁（-

3

，0），
經(jīng)過點A（1，

3

2

），對稱軸為坐標軸，
∴設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
且

a2-b2=3 1 a2 + 3 4b2 =1

，
解得a²=4，b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）當l⊥x軸時，l的方程為x=0，
此時MN中點Q即為原點，
∴BQ⊥l符合題意．
當l與x軸不垂直時，設l方程為y=kx+

5

3

，（k≠0）
代入

x2

4

+y2=1，得（9+36k²）x²+120kx+64=0，
∴△=14400k²-256（9+36k²），
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x0 ，y0），
則x0 =

x1+x2

2

=-

120k 9+36k2

2

=-

60k

9+36k2

，
y0=kx0+

5

3

=k(-

60k

9+36k2

)+

5

3

=

15

9+36k2

，
∴kQB=

15 9+36k2

- 60k 9+36k2 +1

=-

1

k

，
化簡，得4k²-5k+1=0，解得k=1，或k=

1

4

，
經(jīng)檢檢驗，k=1，△＞0，符合題意，
∴l(xiāng)的方程為y=x+

5

3

，
綜上，l的方程為x=0，或y=x+

5

3

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意直線方程、橢圓性質、根的判別式、韋達定理、中點坐標公式等知識點的合理運用．