Question

下列命題：
（1）若函數(shù)f(x)=lg(x+

x2+a

)為偶函數(shù)，則a=1；
（2）函數(shù)f（x）=|sin2x|的周期T=

π

2

；
（3）方程log₆x=cosx有且只有三個(gè)實(shí)數(shù)根；
（4）對(duì)于函數(shù)f（x）=x²，若0＜x1＜x2，則f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
以上命題為真命題的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：判斷a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=lg(x+

x2+a

)的奇偶性，可判斷（1）；求出函數(shù)f（x）=|sin2x|的周期，可判斷（2）；數(shù)形結(jié)合，分析方程log₆x=cosx根的個(gè)數(shù)，可判斷③；判斷函數(shù)f（x）=x²的凸凹性，可判斷（4）

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lg(x+

x2+1

)的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且f（-x）+f（x）=lg(-x+

x2+1

)+lg(x+

x2+1

)=lg[(

x2+1

)2-x2]=lg1=0，
故此時(shí)函數(shù)f(x)=lg(x+

x2+a

)為奇函數(shù)，故（1）錯(cuò)誤；
函數(shù)y=sin2x的周期T=π，縱向?qū)φ圩儞Q后函數(shù)f（x）=|sin2x|的周期T=

π

2

，故（2）正確；
作出y=log₆x與y=cosx的圖象，如下圖所示：

由兩個(gè)函數(shù)圖象有且只有三個(gè)交點(diǎn)，可得方程log₆x=cosx有且只有三個(gè)實(shí)數(shù)根，故（3）正確；
∵函數(shù)f（x）=x²是凹函數(shù)，∴在0＜x₁＜x₂，則0＜x1＜x2，則f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，故（4）正確；
故真命題是：（2）（3）（4），
故答案為：（2）（3）（4）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判定，同時(shí)考查了函數(shù)的一些性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合的方法．