Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)，且斜率為的動(dòng)直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的垂直平分線在軸上截距的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)設(shè),根據(jù)題意列出對(duì)應(yīng)等式,解方程后即可求得a和b的值,得到橢圓方程;

(2)設(shè)出直線l的方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理求出中點(diǎn)坐標(biāo)公式,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),利用直線的點(diǎn)斜式方程,求得AB的垂直平分線方程,令y=0,求得x,再利用基本不等式即可得解.

(1)由題知,,

設(shè),又,

,

,

,從而,,

故橢圓C的方程為;

(2)設(shè)直線l的方程為,,,

聯(lián)立方程:,消去y得:,

顯然,

又,,

,

則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,

當(dāng)AB的斜率k為零時(shí),AB的垂直平分線為y軸,橫截距為0;

當(dāng)時(shí),AB垂直平分線的方程為:,

令,

當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),,那么,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,

所以當(dāng)時(shí),弦AB的垂直平分線在x軸上的截距有最大值,為.