Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）的極大值為

4

27

，求實數(shù)b的值；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）滿足：在定義域內存在實數(shù)x₀，使f（x₀+k）=f（x₀）+f（k）（k為常數(shù)），則稱“f（x）關于k可線性分解”．設b=0，若F（x）=

af(x)

x2

+g（x）關于實數(shù)a可線性分解，求a取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）直接對f（x）求導，令導數(shù)等于0即可求出極大值點與極大值，根據(jù)f（x）的極大值，建立方程，即可解出b的值；
（2）根據(jù)條件化簡g（x）≥-x²+（a+2）x即可求t（x）（x∈[1，e]）的最小值，即可確定a的范圍；
（3）函數(shù)F（x）=

af(x)

x2

+g（x）關于實數(shù)a可線性分解，則可得到a[-（x₀+a）+1+In（x₀+a）]=a（-x₀+1+Inx₀）+a（-a+1+Ina），進而可得到a取值范圍．

解答： 解：（1）由f（x）=-x³+x²+b，得f′（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），
令f′（x）=0，得x=0或

2

3

．
當x變化時，f′（x）及f（x）的變化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 3 ）	2 3	，（ 2 3 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴f（x）的極大值為f（

2

3

）=

4

27

+b=

4

27

，
∴b=0．
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，（x-Inx）a≤x²-2x得．
∵x∈[1，e]，∴Inx≤1≤x且等號不能同時取，
∴Inx＜x，即x-Inx＞0，
∴a≤

x2-2x

x-Inx

恒成立，即a≤(

x2-2x

x-Inx

)min
令t（x）=

x2-2x

x-Inx

，（x∈[1，e]），求導得，t′（x）=

(x-1)(x+2-2Inx)

(x-Inx)2

，
當x∈[1，e]時，x-1≥0，0≤Inx≤1，x+2-Inx＞0，從而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴t_min（x）=t（1）=-1，
∴a≤-1．
（3）證明：F（x）=

af(x)

x2

+g(x)=a（-x+1+Inx）
由已知，存在x₀＞0，使F（x）關于實數(shù)a 可線性分解，則F（x₀+a）=F（x₀）+F（a），
即為a[-（x₀+a）+1+In（x₀+a）]=a（-x₀+1+Inx₀）+a（-a+1+Ina）
∴In

x0+a

x0a

=1，∴

x0+a

x0a

=e，
解得x0=

a

ae-1

，
∵x₀＞0，
∴a＞

1

e

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)極值和最值的相關知識，恒成立問題和存在性問題的解決技巧，以及方程根的存在性定理的應用．屬于難題．