【題目】已知
(1)求的最小值;
(2)若恒成立,求的范圍;
(3)若的兩根都在內,求的范圍.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)分別在、、和的情況下,得到函數在上的單調性,進而求得最小值;
(2)將問題轉化為恒成立;由二次函數圖象和性質可得不等式組,解不等式求得結果;
(3)令可求得兩根,根據根所處范圍可構造不等式求得結果.
(1)①當時,,在上單調遞減
②當時,開口方向向下,對稱軸為
在上單調遞減
③當時,開口方向向上,對稱軸為
若,則 在上單調遞減
若,則 在上單調遞減,在上單調遞增
綜上所述:
(2)恒成立等價于恒成立
當時,不恒成立,不合題意
當時,,解得:
綜上所述:的取值范圍為
(3)令,即
若,方程僅有一個實數根,不合題意;
若,則方程兩根為, ,解得:
綜上所述:的取值范圍為
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線過點,其參數方程為(為參數).以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)若曲線與相交于,兩點,求的值.
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【題目】如果存在函數(為常數),使得對函數定義域內任意都有成立,那么稱為函數的一個“線性覆蓋函數”.給出如下四個結論:
①函數存在“線性覆蓋函數”;
②對于給定的函數,其“線性覆蓋函數”可能不存在,也可能有無數個;
③為函數的一個“線性覆蓋函數”;
④若為函數的一個“線性覆蓋函數”,則
其中所有正確結論的序號是___________
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD垂直于底面ABCD,AD=PD=2,
E、F分別為CD、PB的中點.
(1)求證:EF⊥平面PAB;
(2)設,求直線AC與平面AEF所成角θ的正弦值.
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【題目】已知函數(,且).
(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間;
(Ⅱ)求函數在上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為.(Ⅱ)當時, ;當時, .
【解析】【試題分析】(I)利用的二階導數來研究求得函數的單調區(qū)間.(II) 由(Ⅰ)得在上單調遞減,在上單調遞增,由此可知.利用導數和對分類討論求得函數在不同取值時的最大值.
【試題解析】
(Ⅰ),
設 ,則.
∵, ,∴在上單調遞增,
從而得在上單調遞增,又∵,
∴當時, ,當時, ,
因此, 的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在上單調遞減,在上單調遞增,
由此可知.
∵, ,
∴.
設,
則 .
∵當時, ,∴在上單調遞增.
又∵,∴當時, ;當時, .
①當時, ,即,這時, ;
②當時, ,即,這時, .
綜上, 在上的最大值為:當時, ;
當時, .
[點睛]本小題主要考查函數的單調性,考查利用導數求最大值. 與函數零點有關的參數范圍問題,往往利用導數研究函數的單調區(qū)間和極值點,并結合特殊點,從而判斷函數的大致圖像,討論其圖象與軸的位置關系,進而確定參數的取值范圍;或通過對方程等價變形轉化為兩個函數圖象的交點問題.
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在直角坐標系中,圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為 .
(Ⅰ) 寫出圓 的參數方程和直線的直角坐標方程;
( Ⅱ ) 設直線 與軸和軸的交點分別為,為圓上的任意一點,求的取值范圍.
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【題目】過點任作一直線交拋物線于兩點,過兩點分別作拋物線的切線.
(Ⅰ)記的交點的軌跡為,求的方程;
(Ⅱ)設與直線交于點(異于點),且,.問是否為定值?若為定值,請求出定值.若不為定值,請說明理由.
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【題目】為建立健全國家學生體質健康監(jiān)測評價機制,激勵學生積極參加身體鍛煉,教育部印發(fā)《國家學生體質健康標準(2014年修訂)》,要求各學校每學期開展覆蓋本校各年級學生的《標準》測試工作,并根據學生每個學期總分評定等級.某校決定針對高中學生,每學期進行一次體質健康測試,以下是小明同學六個學期體質健康測試的總分情況.
學期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
總分(分) | 512 | 518 | 523 | 528 | 534 | 535 |
(1)請根據上表提供的數據,用相關系數說明與的線性相關程度,并用最小二乘法求出關于的線性回歸方程(線性相關系數保留兩位小數);
(2)在第六個學期測試中學校根據 《標準》,劃定540分以上為優(yōu)秀等級,已知小明所在的學習小組10個同學有6個被評定為優(yōu)秀,測試后同學們都知道了自己的總分但不知道別人的總分,小明隨機的給小組內4個同學打電話詢問對方成績,優(yōu)秀的同學有人,求的分布列和期望.
參考公式: ,;
相關系數;
參考數據:,.
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【題目】某服裝廠生產一種服裝,每件服裝成本為40元,出廠單價定為60元,該廠為鼓勵銷售商訂購,規(guī)定當一次訂購量超過100件時,每多訂購一件,訂購的全部服裝的出廠單價就降低元,根據市場調查,銷售商一次訂購不會超過600件.
(1)設一次訂購件,服裝的實際出廠單價為元,寫出函數的表達式;
(2)當銷售商一次訂購多少件服裝時,該廠獲得的利潤最大?其最大利潤是多少?
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