Question

【題目】已知100條線段的長度集合，試求從這些線段中任取三條線段能夠構成三角形的概率。

Answer 1

【答案】

【解析】

易知，，于是，所求問題轉化為：從1，2，…，100這100個數(shù)中任取三個不同的數(shù)，求其中兩個較小的數(shù)的和大于最大數(shù)的概率.事實上，從1，2，…，100中任取三個不同的數(shù)，其不同的取法有種.下面求其中兩個較小的數(shù)的和大于最大數(shù)的取法數(shù).

先考慮一般情形：

設表示從1，2，…，這個數(shù)中任取三個數(shù)且其中兩個較小的數(shù)的和大于最大數(shù)的取法數(shù).易得，，……

在從1，2，…，這個數(shù)中，任取三個數(shù)且其中兩個較小的數(shù)的和大于最大數(shù)的取法數(shù)為兩部分的和，即第一部分：最大數(shù)不大于，易知，這部分不同的取法有種；第二部分：最大數(shù)為，再從1，2，…，這個數(shù)中取兩個數(shù)，且這兩個數(shù)的和大于.

考慮從1，2，…，這個數(shù)中取兩個數(shù)中較大的數(shù)的情形，具體如表1：

表1

較大的數(shù)	最小數(shù)的可能值	個數(shù)
	2，3，…，
	3，4，…，
	4，…，
…	…	…

由此可知，當是偶數(shù)時，第二部分的取法數(shù)為

.當是奇數(shù)時，第二部分的取法數(shù)為 .

當為偶數(shù)時，得 .

則 .

故

.

因此，從這些線段中任取三條線段能夠構成三角形的概率為.