Question

直線x=1與拋物線C：y²=4x交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，記

OP

=a

OM

+b

ON

（a，b∈R），其中O為拋物線C的頂點(diǎn)．
（1）當(dāng)

OP

與

ON

平行時(shí)，b=

 

；
（2）給出下列命題：
①?a，b∈R，△PMN不是等邊三角形；
②?a＜0且b＜0，使得

OP

與

ON

垂直；
③無論點(diǎn)P在準(zhǔn)線上如何運(yùn)動(dòng)，a+b=-1總成立．
其中，所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：向量與圓錐曲線

分析：根據(jù)題意畫出拋物線y²=4x，和直線x=1，準(zhǔn)線x=-1，連接OP，OM，ON，根據(jù)

OP

與

ON

平行，求出P的坐標(biāo)，再求

OP

=a

OM

+b

ON

，求出a，b；對（2）的①假設(shè)△PMN是等邊三角形，看能否推出矛盾；對②若

OP

與

ON

垂直，求出a，b；對③根據(jù)

OP

=a

OM

+b

ON

（a，b∈R），運(yùn)用坐標(biāo)求出a，b的關(guān)系式．

解答： 解：由

x=1 y2=4x

求出點(diǎn)M（1，2），N（1，-2），從而

OM

=(1，2)，

ON

=(1，-2)，設(shè)P（-1，t），

OP

=(-1，t)，
（1）當(dāng)

OP

與

ON

平行時(shí)，t=2，因?yàn)?span id="by9bilp" class="MathJye">

OP

=a

OM

+b

ON

，
所以

a+b=-1 2a-2b=2

解得

a=0 b=-1

，故答案為：-1；
（2）①若△PMN是等邊三角形，則因?yàn)镸N垂直于x軸，
所以P在x軸上，且在x=-1上，故P（-1，0），但這不滿足PM=MN，所以不存在三角形PMN是等邊三角形，故①對；
對②，因?yàn)?span id="vr4oiij" class="MathJye">

OP

⊥

ON

?-1-2t=0?t=-

1

2

，
所以由

OP

=a

OM

+b

ON

得

a+b=-1 a-b=- 1 4

解得

a=- 5 8 b=- 3 8

，故②對；
對③，由上面可知顯然正確，故③對．
故答案為：①②③

點(diǎn)評：本題主要考查向量與拋物線的知識，考查準(zhǔn)線方程和向量共線、垂直的條件以及簡單的坐標(biāo)運(yùn)算．