Question

已知F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P（

a

4

，t）為橢圓C上第一象限的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩互相垂直的直線L₁、L₂，L₁經(jīng)過(guò)橢圓C左頂點(diǎn)A，L₂經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F₂．
（1）求橢圓離心率；
（2）將直線L₁繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后，直線L₁通過(guò)左焦點(diǎn)F₁，且與橢圓交于B點(diǎn)，此時(shí)△PF₂B的面積為

35 3

11

，求橢圓C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用

AP

•

F2P

=0，可得t²=

5a

4

c-

5a2

16

，根據(jù)P在橢圓上可得

1

16

+

t2

b2

=1，由此可求橢圓離心率；
（2）利用tan30°=tan（β-α）=

3

3

，F(xiàn)₁P：y=

4t

a+4c

（x+c），

x02

a2

+

y02

b2

=1，△PF₂B的面積為

35 3

11

，即可求橢圓C的方程．

解答： 解：（1）由題意得：A（-a，0）、P（

a

4

，t）、F₁（-c，0）、F₂（c，0）
∴

AP

=（

5a

4

，t）、

F2P

=（

a

4

-c，t），
∴

AP

•

F2P

=

5a2

16

-

5a

4

c+t²=0，
∴t²=

5a

4

c-

5a2

16

①
∵P在橢圓上
∴

1

16

+

t2

b2

=1  ②
聯(lián)合①②得
15（a²-c²）=20ac-5a²，
整理得（3e-2）（e+2）=0
∴e=

2

3

或e=-2舍
（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H
tanα=tan∠HPF₁=

c+ a 4

t

，tanβ=tan∠APH=

a+ a 4

t

tan30°=tan（β-α）=

3

3

③
設(shè)B（x₀，y₀），則k_F1P=

4t

a+4c

F₁P：y=

4t

a+4c

（x+c）  ④
∵B在橢圓上
∴

x02

a2

+

y02

b2

=1  ⑤
∵△PF₂B的面積為

35 3

11

，
∴S=

1

2

•2c•t+

1

2

•2c•y₀=

35 3

11

，⑥
聯(lián)合③④⑤⑥得a²=9，c²=4
∴橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．