已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.
(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角;
(Ⅲ)求點P到平面QAD的距離.
(Ⅰ)由P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐,得到PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.
從而P、O、Q三點在一條直線上,所以PQ⊥平面ABCD.
(Ⅱ).(Ⅲ) .
解析試題分析:(Ⅰ)連結(jié)AC、BD,設.
由P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.
從而P、O、Q三點在一條直線上,所以PQ⊥平面ABCD.
(Ⅱ)由題設知,ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
由(Ⅰ),QO⊥平面ABCD. 故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖),由題條件,相關各點的坐標分別是P(0,0,1),A(,0,0),Q(0,0,-2),B(0,,0).
所以
于是.
從而異面直線AQ與PB所成的角是.
(Ⅲ)由(Ⅱ),點D的坐標是(0,-,0),,
,設是平面QAD的一個法向量,由
得.
取x=1,得.
所以點P到平面QAD的距離.
考點:本題主要考查立體幾何中的垂直關系,距離及角的計算。
點評:典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。在計算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計算”的步驟,利用向量則能簡化證明過程。本題解法較多,特別是求角及距離時,運用了“向量法”,實現(xiàn)了問題的有效轉(zhuǎn)化。對考生計算能力要求較高
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選修4-1:幾何證明選講
如圖,在等腰梯形ABCD中,對角線AC⊥BD,且相交于點O ,E是AB邊的中點,EO的延長線交CD于F.
(1)求證:EF⊥CD;
(2)若∠ABD=30°,求證
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(本小題滿分14分)
如圖4,在三棱柱中,△是邊長為的等邊三角形,
平面,,分別是,的中點.
(1)求證:∥平面;
(2)若為上的動點,當與平面所成最大角的正切值為時,
求平面 與平面所成二面角(銳角)的余弦值.
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(本小題滿分12分)
如圖,邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點.
(1)求直線A1E與平面BDD1B1所成的角的正弦值
(2)求點E到平面A1DB的距離
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(本小題滿分10分)如圖,四邊形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,E是PC的中點.
求證:(1) PA∥平面BDE .
(2)平面PAC平面BDE .
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(本小題滿分12分)
在四棱柱中,底面是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=,AB=PB=PC=BC=2CD=2,平面PBC⊥平面ABCD
(1)求證:AB⊥平面PBC
(2)求三棱錐C-ADP的體積
(3)在棱PB上是否存在點M使CM∥平面PAD?
若存在,求的值。若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,已知點B在以AC為直徑的圓上,SA⊥面ABC,AE⊥SB于E,AF⊥SC于F.
(I)證明:SC⊥EF;
(II)若求三棱錐S—AEF的體積.
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