數(shù)列滿足:,(≥3),記
(≥3).
(1)求證數(shù)列為等差數(shù)列,并求通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,求證:<<.

(1) (2)詳見解析.

解析試題分析：(1)本題實(shí)質(zhì)由和項(xiàng)求通項(xiàng)：
當(dāng)n≥3時(shí),因①, 故②，
②-①,得  bn-1-bn-2===1,為常數(shù)，所以,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列因  b1==4,故 (2)本題證明實(shí)質(zhì)是求和，而求和關(guān)鍵在于對(duì)開方：因 ，
故 .
所以 ,即  n<Sn
又<,于是. 于是
解 (1)方法一 當(dāng)n≥3時(shí),因①,
故②      2分
②-①,得  bn-1-bn-2===1,為常數(shù),所以,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列  5分
因  b1==4,故    8分
方法二 當(dāng)n≥3時(shí),a1a2an="1+an+1," a1a2anan+1="1+an+2," 將上兩式相除并變形,得  ------2分 于是,當(dāng)n∈N*時(shí),  
 
.   5分
又a4=a1a2a3-1=7,故bn=n+3(n∈N*).
所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且bn=n+3   8分
(2) 因 ,  10分
故 .      12分
所以 , 
即  n<Sn 。     14分
又<,于是. 于是.---16分
考點(diǎn)：等差數(shù)列定義，裂項(xiàng)求和

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知為等差數(shù)列，且，.
（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列滿足，，求的前n項(xiàng)和公式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在中，角的對(duì)邊分別為，且成等差數(shù)列
（1）若，求的面積
（2）若成等比數(shù)列，試判斷的形狀

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設(shè)數(shù)列{an}是一個(gè)公差為的等差數(shù)列，已知它的前10項(xiàng)和為，且a1，a2，a4 成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和Tn ．

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（滿分16分）
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.若對(duì)任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”.
（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：是“數(shù)列”.
（2）設(shè)是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差，若是“數(shù)列”，求的值；
（3）證明：對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“數(shù)列” 和，使得成立.

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數(shù)列滿足
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分18分）本題共3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.
已知數(shù)列滿足.
若，求的取值范圍；
若是公比為等比數(shù)列，，求的取值范圍；
若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1＝1，且點(diǎn)(，an＋1)( n ∈N*)在函數(shù)y＝x2＋1的圖象上．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列 滿足b1＝1，，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列{}中, (1)求，
(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和。

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