【題目】已知拋物線，為其焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線，過任作一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，、分別為、在上的射影，為的中點(diǎn)，給出下列命題：

（1）；（2）；（3）；

（4）與的交點(diǎn)的軸上；（5）與交于原點(diǎn).

其中真命題的序號為_________.

【答案】（1）（2）（3）（4）（5）

【解析】

（1）由、在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知，，從而有相等的角，由此可判斷；

（2）取的中點(diǎn)，利用中位線即拋物線的定義可得，從而可得；

（3）由（2）知，平分，從而可得，根據(jù)，利用垂直于同一直線的兩條直線平行，可得結(jié)論；

（4）取與軸的交點(diǎn)，可得，可得出的中點(diǎn)在軸上，從而得出結(jié)論；

（5）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，證明出、、三點(diǎn)共線，同理得出、、三點(diǎn)共線，由此可得出結(jié)論.

（1）由于、在拋物線上，且、分別為、在準(zhǔn)線上的射影，

根據(jù)拋物線的定義可知，，則，，

，，則，

即，，則，即，（1）正確；

（2）取的中點(diǎn)，則，，即，

（2）正確；

（3）由（2）知，，，

，，，

平分，，由于，，（3）正確；

（4）取與軸的交點(diǎn)，則，軸，可知，

，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，由（3）知，平分，過點(diǎn)，

所以，與的交點(diǎn)的軸上，（4）正確；

（5）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，則點(diǎn)、，

將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得，，

由韋達(dá)定理得，，

直線的斜率為，

直線的斜率為，，

則、、三點(diǎn)共線，同理得出、、三點(diǎn)共線，

所以，與交于原點(diǎn)，（5）正確.

綜上所述，真命題的序號為：（1）（2）（3）（4）（5）.

故答案為：（1）（2）（3）（4）（5）.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，定義：為橢圓的“特征三角形”，如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，那么稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比，已知點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，且上任意一點(diǎn)到它的兩焦點(diǎn)的距離之和為4

（1）若橢圓與橢圓相似，且與的相似比為2：1，求橢圓的方程.

（2）已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)是直線與拋物線異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)一定在雙曲線上.

（3）已知直線，與橢圓相似且短半軸長為的橢圓為，是否存在正方形，（設(shè)其面積為），使得在直線上，在曲線上？若存在，求出函數(shù)的解析式及定義域；若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)，討論的零點(diǎn)個數(shù)；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知在長方體中，，點(diǎn)為上的一個動點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，給出下列命題：

①四棱錐的體積為；

②存在唯一的點(diǎn)，使截面四邊形的周長取得最小值；

③當(dāng)點(diǎn)不與，重合時，在棱上均存在點(diǎn)，使得平面

④存在唯一一點(diǎn)，使得平面，且

其中正確的命題是_____________（填寫所有正確的序號）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)滿足方程.

（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（2）作曲線C關(guān)于軸對稱的曲線，記為，在曲線C上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的切線l，若切線l與曲線交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作曲線的切線，，且，的交點(diǎn)為Q，試問以Q為直角的是否存在，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），將曲線上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點(diǎn)．

（1）求曲線的參數(shù)方程和的取值范圍；

（2）求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，.

（1）討論的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，證明：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，圓，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，直線QA與直線QB的斜率均存在且斜率之和為-2，證明：直線l過定點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】棋盤上標(biāo)有第、、、、站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到調(diào)到第站或第站時，游戲結(jié)束.設(shè)棋子位于第站的概率為.

（1）當(dāng)游戲開始時，若拋擲均勻硬幣次后，求棋手所走步數(shù)之和的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）證明：；

（3）求、的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案