Question

【題目】已知圓，圓，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，直線QA與直線QB的斜率均存在且斜率之和為-2，證明：直線l過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，得到，，從而得到，得到，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l斜率存在時(shí)，設(shè)，代入橢圓方程，得到，，表示出直線QA與直線QB的斜率，根據(jù)，得到，的關(guān)系，得到直線所過(guò)的定點(diǎn)，再驗(yàn)證直線l斜率不存在時(shí)，也過(guò)該定點(diǎn)，從而證明直線過(guò)定點(diǎn).

（1）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，

因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M外切，所以，

因?yàn)閯?dòng)圓P與圓N內(nèi)切，所以，

則，

由橢圓定義可知，曲線C是以為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，

設(shè)橢圓方程為，

則，，故，

所以曲線C的方程為.

（2）①當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，

聯(lián)立，

得，

設(shè)點(diǎn)，則，

，

所以，

即，

得.

則，

因?yàn)?/span>，所以.

即，

直線，

所以直線l過(guò)定點(diǎn).

②當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，設(shè)直線，且，

則點(diǎn)

，

解得，

所以直線也過(guò)定點(diǎn).

綜上所述，直線l過(guò)定點(diǎn).