【題目】已知橢圓的焦點和上頂點分別為，定義：為橢圓的“特征三角形”，如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，那么稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比，已知點是橢圓的一個焦點，且上任意一點到它的兩焦點的距離之和為4

（1）若橢圓與橢圓相似，且與的相似比為2：1，求橢圓的方程.

（2）已知點是橢圓上的任意一點，若點是直線與拋物線異于原點的交點，證明：點一定在雙曲線上.

（3）已知直線，與橢圓相似且短半軸長為的橢圓為，是否存在正方形，（設(shè)其面積為），使得在直線上，在曲線上？若存在，求出函數(shù)的解析式及定義域；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）先計算橢圓：，根據(jù)相似比得到橢圓的方程.

（2）點是橢圓上的一點，則，設(shè)，計算

得到證明.

（3）根據(jù)題意：只需上存在兩點關(guān)于對稱即可，利用韋達(dá)定理計算，得到答案.

（1）根據(jù)題意知，橢圓：，，橢圓：

橢圓與橢圓相似，且與的相似比為2：1，則

橢圓的方程為：

（2）點是橢圓上的一點，則，

設(shè)

故

所以點一定在雙曲線上

（3）：根據(jù)題意：只需上存在兩點關(guān)于對稱即可

設(shè)，設(shè)的中點為

由韋達(dá)定理知：

在直線上，則故

此時正方形的邊長為

故

練習(xí)冊系列答案
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（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點時，求直線的方程；

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（1）一個平面內(nèi)有且只有一對不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基；

（2）一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不平行向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基；

（3）平面向量的基向量可能互相垂直；

（4）一個平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)三個互不平行向量的線性組合.

其中正確命題的個數(shù)是（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

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