Question

【題目】如圖，已知在長方體中，，點(diǎn)為上的一個(gè)動點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，給出下列命題：

①四棱錐的體積為；

②存在唯一的點(diǎn)，使截面四邊形的周長取得最小值；

③當(dāng)點(diǎn)不與，重合時(shí)，在棱上均存在點(diǎn)，使得平面

④存在唯一一點(diǎn)，使得平面，且

其中正確的命題是_____________（填寫所有正確的序號）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根據(jù)，再根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化，求出和，得到答案；②判斷出截面四邊形為平行四邊形，將正方體側(cè)面展開，面和面在同一平面內(nèi)，得到最小為內(nèi)的長度，從而得到截面四邊形的周長的最小值；③取為中點(diǎn)時(shí)，在平面中，延長，交于，可得；④以點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面垂直，得到點(diǎn)坐標(biāo)，并求出.

長方體中，

命題①，

易知平面

到平面的距離，等于到平面的距離，為，

同理到平面的距離，等于到平面的距離，為

所以

，故正確.

命題②，易知平面平面，

平面平面，平面平面

所以，同理，

即四邊形為平行四邊形

將正方體側(cè)面展開，面和面在同一平面內(nèi)，

可得在內(nèi)，最小為的長度，

此時(shí)點(diǎn)為與的交點(diǎn)，

所以四邊形的周長取得最小值，故正確.

命題③，取為中點(diǎn)時(shí)，易知為中點(diǎn)

在平面中，延長，交于，

通過，得到，

所以，

即此時(shí)平面，

而此時(shí)點(diǎn)在延長線上，不在棱上，故錯(cuò)誤.

命題④，以點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)

，，

所以，即，

要使平面，

則需，即

所以，得，即，故正確.

故答案為：①②④