Question

【題目】通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為,專家發(fā)現(xiàn),學(xué)生的注意力著老師講課時間的變化而變化,講課開始時,學(xué)生的興趣激增;中間有一段時間,學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開始分散,設(shè)f(t)表示學(xué)生注意力隨時間t(分鐘)的變化規(guī)律\left(f(t)越大,表明學(xué)生注意力越集中),經(jīng)過實驗分析得知：

(1)講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中?能持續(xù)多少分鐘?

(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時學(xué)生的注意力更集中?

(3)一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，教師能否在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講授完這道題目?

Answer 1

【答案】（1）講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘；（2）講課開始25分鐘時，學(xué)生的注意力比講課開始后5分鐘更集中；（3）經(jīng)過適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達(dá)到所需要的狀態(tài)下講授完這道題.

【解析】試題分析：應(yīng)用問題首先要認(rèn)真細(xì)致的讀題審題，本題為分段函數(shù)問題，根據(jù)分段函數(shù)問題分段處理原則，針對每一段函數(shù)根據(jù)相應(yīng)的定義域要求，求出每一段的最大值，再比較得出最大值；比較兩個函數(shù)值的大小，按兩個自變量的大小，分別對號入座，求出相應(yīng)的函數(shù)值后，再比較大小；分段函數(shù)解不等式問題，在每段的定義域下分別解不等式，再取三段的解集的并集.

試題解析：

(1)當(dāng)0<t10時,f(t)=t2+24t+100

=(t12)2+244是增函數(shù),且f(10)=240；

當(dāng)20<t40時,f(t)=7t+380是減函數(shù)，

且f(20)=240.

所以，講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘。

(2)f(5)=195,f(25)=205，

故講課開始25分鐘時，學(xué)生的注意力比講課開始后5分鐘更集中。

(3)當(dāng)0<t10時,f(t)=t2+24t+100=180，則t=4；

當(dāng)20<t40時,令f(t)=7t+380=180，

t≈28.57，則學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時間

28.574=24.57>24，

所以，經(jīng)過適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達(dá)到所需要的狀態(tài)下講授完這道題。

【點精】應(yīng)用問題首先要認(rèn)真細(xì)致的審題，逐字逐句的讀題，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.本題為分段函數(shù)問題，根據(jù)分段函數(shù)問題分段處理原則，分段函數(shù)涉及到定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、最值、解方程和解不等式諸多問題，分段函數(shù)的定義域為各段定義域的并集，求最值時，針對每一段函數(shù)根據(jù)相應(yīng)的定義域要求，求出每一段的極大值，再比較得出最大值；比較兩個函數(shù)值的大小，按兩個自變量的大小，分別對號入座，求出相應(yīng)的函數(shù)值后，再比較大��；分段函數(shù)解不等式問題，在每段的定義域下分別解不等式，再取三段的解集的并集；