Question

已知函數(shù)f（x）=（a+

b

x

）eⁿ，a，b為常數(shù)，a≠0．
（Ⅰ）若a=2，b=1，求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值；
（Ⅲ）若a=1，b=-2時，不等式f（x）≤lnx•eⁿ恒成立，判斷代數(shù)式[（n+1）！]²與（n+1）e^n-2（n∈N^*）的大�。�

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：壓軸題,導數(shù)的綜合應用

分析：第（Ⅰ）問求函數(shù)的單調區(qū)間，先對函數(shù)求導，然導函數(shù)在（0，+∞）正負判斷函數(shù)的單調性；第（Ⅱ）問通過研究函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的單調性，確定在何處取到函數(shù)的最小值；第（Ⅲ）問要利用不等式f（x）≤lnx•eⁿ恒成立，比較兩個式子的大小，通過賦值的方法建立條件和問題之間的聯(lián)系．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=（a+

b

x

-

b

x2

)exe^x=（ax²+bx-b）

ex

x2

…1分
當a=2，b=1時，f′（x）=（2x²+x-1）

ex

x2

=（x+1）（2x-1）

ex

x2

…2分
令f′（x）=0，得x=

1

2

或x=-1（舍去）…3分
因為

ex

x2

＞0，所以當x∈（0，

1

2

）時，f′（x）＜0，
f（x）是減函數(shù)…4分
當x∈（

1

2

，+∞)時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
所以函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，

1

2

）；
單調遞增區(qū)間為（

1

2

，+∞）…5分
（Ⅱ）令g（x）=ax²+bx-b．
因為a＞0，b＞0，所以二次函數(shù)g（x）的圖象開口向上，
對稱軸x=-

b

2a

＜0，且g（1）=a＞0，…7分
所以g（x）＞0對一切x∈[1，2]恒成立，
又因為

ex

x2

＞0，所以f′（x）＞0對一切x∈[1，2]恒成立，…8分
所以f（x）在x∈[1，2]上為增函數(shù)，
故f（x）_min=f（1）=（a+b）e…10分
（Ⅲ）若a=1，b=-2時，不等式f（x）≤lnx•e^x恒成立，
化簡得：（1-

2

x

)ex≤lnx•exe^x≤lnx•e^x，即lnx≥1-

2

x

恒成立，…11分
令x=n（n+1），則ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，
∴l(xiāng)n（1×2）＞1-

2

1×2

，ln（2×3）＞1-

2

2×3

，ln（3×4）＞1-

2

3×4

，…，
ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，…12分
疊加得ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]
=n-2（1-

1

n+1

）＞n-2．
則1×2²×3²×…×n²（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）…14分

點評：本題綜合性較強，難度較大；考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、求函數(shù)的最值；第（Ⅲ）問解決的關鍵是要建立條件要要比較的兩個式子之間的聯(lián)系．