已知二次函數(shù)h(x)=ax2+3x+c(c>3),其中函數(shù)h′(x)的零點為
3
2
,f(x)=lnx-h(x)
(1)若函數(shù)f(x)在(
1
2
,m+
1
4
)
上為單調(diào)函數(shù),求m的范圍
(2)若函數(shù)y=2x-lnx,x∈[1,4]的圖象總在y=f(x)圖象上方,求c的取值范圍.
考點:導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用
專題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由h′(x)的零點為
3
2
,得h′(
3
2
)=0,可求a,由函數(shù)f(x)在(
1
2
,m+
1
4
)
上為單調(diào)函數(shù),知f′(x)≥0,或f′(x)≤0在(
1
2
,m+
1
4
)上恒成立,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得
1
2
<m+
1
4
≤1
,解出即可;
(2)由函數(shù)y=2x-lnx,x∈[1,4]的圖象總在y=f(x)圖象上方,可得2x-lnx>f(x),即5x-x2-2lnx+c>0在∈[1,4]上恒成立,令g(x)=5x-x2-2lnx+c,x∈[1,4],利用導(dǎo)數(shù)可求得g(x)min,從而有g(shù)(x)min>0,解出可得;
解答: 解:(1)h′(x)=2ax+3,
∵h(yuǎn)′(x)的零點為
3
2
,
∴h′(
3
2
)=2a×
3
2
+3=0,解得a=-1,
則f(x)=lnx-h(x)=lnx+x2-3x-c,
f′(x)=
1
x
+2x-3
=
2x2-3x+1
x
,
令f′(x)=0,得x=
1
2
或1,
∵y=2x2-3x+1的圖象開口向上,且函數(shù)f(x)在(
1
2
,m+
1
4
)
上為單調(diào)函數(shù),
1
2
<m+
1
4
≤1
,解得
1
4
<m≤
3
4
,
故實數(shù)m的取值范圍是(
1
4
,
3
4
].
(2)∵函數(shù)y=2x-lnx,x∈[1,4]的圖象總在y=f(x)圖象上方,
∴2x-lnx>f(x),即5x-x2-2lnx+c>0在∈[1,4]上恒成立,
令g(x)=5x-x2-2lnx+c,x∈[1,4],
則g′(x)=5-2x-
2
x
=-
2(x-
1
2
)(x-2)
x

當(dāng)x∈[1,2)時,g′(x)>0,g(x)遞增;當(dāng)x∈(2,4]時,g′(x)<0,g(x)遞減,
∴g(x)min=min{g(1),g(4)},
又g(1)=4+c,g(4)=4-2ln4+c,g(1)>g(4),
∴g(x)min=g(4)=4-2ln4+c,
∴4-2ln4+c>0,解得c>2ln4-4,
∴c的取值范圍是(2ln4-4,+∞).
點評:本題以函數(shù)為載體,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及函數(shù)恒成立問題,考查轉(zhuǎn)化思想,考查學(xué)生解決問題的能力.
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已知命題p:若非零實數(shù)a,b,則
1
a
1
b
;命題q:對任意實數(shù)x∈(0,+∞),log 
1
2
(x+1)<0,則下列命題為真命題的是( 。
A、p且qB、p或¬q
C、¬p且qD、p且¬q

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如圖,某自來水公司要在公路兩側(cè)鋪設(shè)水管,公路為東西方向,在路北側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l1,在路南側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l2,現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l1與l2接通.已知AB=60m,BC=80m,公路兩側(cè)鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每米1萬元,穿過公路的EF部分鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每米2萬元,設(shè)∠EFB=
π
2
-α,矩形區(qū)域內(nèi)的鋪設(shè)水管的總費(fèi)用為W.

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(2)求W的最小值及相應(yīng)的角α.

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第十八屆省運(yùn)會將于2014年9月在徐州市舉辦.為營造優(yōu)美的環(huán)境,舉辦方?jīng)Q定在某“葫蘆”形花壇中建噴泉.如圖,該花壇的邊界是兩個半徑為10米的圓弧圍成,兩圓心O1、O2之間的距離為10米.
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(2)如圖乙,在花壇中間鋪設(shè)一條寬為2米的觀賞長廊以作休閑之用,則矩形噴泉變?yōu)閮蓚全等的等腰三角形,其中NA=NB,NO2=4米.若∠AO2M=θ∈[
π
6
,
π
4
],求噴泉的面積的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=alnx+
1
x
+
1
2x2
,a∈R.
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明:(x-1)(e-x-x)+2lnx<
2
3

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如圖,D,E分別為△ABC邊AB,AC的中點,直線DE交于△ABC的外接圓于F,G兩點,若BC=2EF,證明:
(Ⅰ)CF∥AB;
(Ⅱ)△BCD∽△GBD.

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已知函數(shù)f(x)=(a+
b
x
)en,a,b為常數(shù),a≠0.
(Ⅰ)若a=2,b=1,求函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)區(qū)間;
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