Question

某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購物滿200元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅色球，1個(gè)黃魚球，1個(gè)藍(lán)色球和1個(gè)黑色球．顧客不放回的每次摸出1個(gè)球，直至摸到黑色球停止摸獎(jiǎng)．規(guī)定摸到紅色球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到黃色球或藍(lán)色球獎(jiǎng)勵(lì)5元，摸到黑色球無獎(jiǎng)勵(lì)．
（Ⅰ）求一名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）記X為一名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的情況有

A

2 3

種，基本事件的個(gè)數(shù)為1+

A

1 3

+

A

2 3

+

A

3 3

，然后代入等可能事件的概率公式可求
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有取值為0，5，10，15，20，分別求出X取各個(gè)值時(shí)的概率即可求解隨機(jī)變量X的分布列及期望

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)“1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)”為事件A，基本事件的個(gè)數(shù)為1+

A

1 3

+

A

2 3

+

A

3 3

=16個(gè)，
則P（A）=

A 2 3

16

=

3

8

，故1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率為

3

8

；
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有取值為0，5，10，15，20．
P（X=0）=

1

4

，P（X=5）=

A 2 2

A 2 4

=

1

6

，P（X=10）=

1

A 2 4

+

A 2 2

A 3 4

=

1

6

，P（X=15）=

C 1 2 A 2 2

A 3 4

=

1

6

，P（X=20）=

A 3 3

A 4 4

=

1

4

．    
所以，隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	5	10	15	20
P	1 4	1 6	1 6	1 6	1 4

EX=0×

1

4

 +5×

1

6

+10×

1

6

 +15×

1

6

 +20×

1

4

 =10．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了隨機(jī)變量的概率分布列及期望值的求解，解題的關(guān)鍵是每種情況下的概率求解．